Hola. En general la información recabada en su escrito es muy buena, sin embargo considero que debieron de cuidar los siguientes aspectos:
*La extensión del tema
*El excesivo uso de ejemplos
*Sustraer lo más importante de la información recabada en las fuentes bibliograficas
*La comprensión del texto (considero que lo debieron de haber explicado en lugar de poner solo la información).
En ocasiones me pareció que estaba leyendo un ficha de contenido, pero creo entender porque lo hicieron así, ya que ustedes mencionan que es importante que los maestros tengamos noción de los conceptos variados acerca del tema, sin embargo considero que debieron explicar los conceptos o por lo menos hacer la información mas amena ya que hubo ocasiones en que algunos de éstos no se entendían.
También debieron, desde nuestro punto de vista, manejar el tema enfocado al trabajo en el aula.
Atte: Equipo.- Sandra Moreno y Jesús Cardiel
miércoles, 6 de diciembre de 2006
LA ENSEÑANZA DE LOS PRIMEROS NÚMEROS
Para el equipo de Sandra y Chuy. Nos pareció adecuado que recordaran la importancia de la utilización del material concreto en la enseñanza de los primeros números; aparte nos pareció bien que también mencionaran el papel que jugará el maestro en esta enseñanza. Attentamente: Equipo de Cynthia y Catya
Nuestro Sistema de Numeración Decimal
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Integrantes: María Soledad López Moreno
Adriana Morales Ruvalcaba
Angela Georgina Torres Gomez
INTRODUCCION
Para la evaluación correspondiente al examen semestral en la materia de Matemáticas, se presenta un trabajo a manera de ensayo; en este caso se nos asigno un tema: Nuestro sistema de Numeración Decimal.
Con base al tema asignado se realizo una investigación documentada para desarrollarlo, que se presentara a continuación para una mejor comprensión del contenido. Lo cual es muy importante ya que suele ser un aspecto que nos parece tan cotidiano y simple que muchas veces no se valora su utilidad, ya que es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración.
Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal.
Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar. La información presentada puede ayudarnos como docentes, incluso es recomendable actualizarse en cada concepto para poderlo aplicarlo y dominarlo así que este ensayo nos permitirá ahondar en el tema mencionado.
NUMERACION DECIMAL
El sistema numérico que utilizamos para representar los números utiliza diez símbolos llamados cifras.
Para representar números mayores que nueve, utilizamos grupos formados por varias cifras ordenadas. La posición de cada cifra, a medida que nos trasladamos de derecha a izquierda, nos indicará las unidades, decenas, centenas, etc. Por estas razones se llama a este sistema posicional.
El sistema decimal es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras: cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes.
Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Por ejemplo, cuando se cuentan artículos por docenas, o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos números (en francés, por ejemplo, el número 80 se expresa como "cuatro veintenas").
Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar.
El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:
Los números decimales se pueden representar en rectas numéricas
Búsqueda de números primos
En base 10, un número primo sólo puede acabar en 1, 3, 7 o 9.Las 6 posibilidades restantes generan siempre números compuestos:
Los acabados en 2, 4, 6, 8 y 0 son múltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son múltiplos de 5
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema. Un sistema de numeración puede representarse como N = S + R donde:
N es el sistema de numeración considerado
S son los símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1...7}; en el hexadecimal son {0,1...9,A,B,C,D,E,F}
R son las reglas de generación que nos indican qué números son válidos y cuáles son no-válidos en el sistema.
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeracíon utilizado se añade como subíndice al número).
Ejemplos:
el número 125(10 es un número válido en el sistema decimal, pero el número 12A(10 no lo es, ya que utiliza un símbolo A no válido en el sistema decimal.
el número 35(8) es un número válido en el sistema octal, pero el número 39(8 no lo es, ya que el símbolo 9 no es un símbolo válido en el sistema octal.
el número F1E4(16) es un número válido en el sistema hexadecimal, pero el número FKE4(16 no lo es, ya que el símbolo K no es un símbolo válido en el sistema hexadecimal.
//
Clasificación
De una forma general y amplia podemos clasificar los sistemas de numeración en dos grandes tipos
Posicionales
El valor de los símbolos que componen el sistema depende del valor que se les ha asignado, y de la posición que ocupan en el número.
No Posicionales
El valor de los símbolos que componen el sistema es fijo, y no depende de la posición que ocupa el símbolo dentro del número.
[Sistemas de numeración posicionales
Los sistemas de numeración usados en la actualidad son ponderados o posicionales. En estos sistemas de numeración el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.
El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.
Podemos ver esto con un ejemplo en el sistema de numeración decimal.
Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando.
De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.
Como vemos, un sistema de numeración posicional se comporta como un cuentakilómetros: va sumando 1 a la columna de la derecha y, cuando la rueda de esa columna ha dado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.
Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.
Tal es la costumbre de calcular en decimal que la inmensa mayoría de la población ni siquiera se imagina que pueden existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 Sistema binario, de base 8 Sistema octal y el de base 16 Sistema hexadecimal.
Teorema Fundamental de la Numeración
Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:
N: Sistema de numeración
b: base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.
d: un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración
n: número de dígitos de la parte entera.
,: coma decimal. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su parte decimal.
k: número de dígitos de la parte decimal.
La fórmula general para construir un número (cualquier número) N en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:
El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.
Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas.
Ejemplo en el Sistema Decimal
En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (número de símbolos válidos en el sistema) es 10.
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.
Los dígitos a la izquierda de la coma decimal representados por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (102=100), decenas (10¹=10) y unidades (100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma decimal.
Los dígitos a la derecha de la coma decimal d-1, d-2, d-3 ... d-n representan respectivamente al dígito de las décimas (10-1=0,1), centésimas (10-2=0,01), milésimas (10-3=0,001) y n-ésimas (10-n) .
Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como:
Ejemplo en el Sistema Binario
Tomemos ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema binario.
Seguimos con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba. En este caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que solo disponemos de 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.
Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que contamos (sumamos) dos hemos agotado los símbolos disponibles para esa columna, y debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda.
Así, si contamos en binario, tras el número 0(2 viene el 1(2, pero si contamos una unidad más debemos usar otra columna, resultando 10(2
Sigamos contando 0(2,1(2,10(2,11(2. Al añadir una unidad a la columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los símbolos disponibles), y debemos formar una unidad de segundo orden, pero como ya hay una, también agotaremos los símbolos disponibles para esa columna, y debemos formar una unidad de tercer orden o 100(2. Así, en el sistema binario 11(2 + 1(2 + 100(2
Ejemplos:
El número está formado por un sólo símbolo repetido tres veces. No obstante, cada uno de esos símbolos tiene un valor diferente, que depende de la posición que ocupa en el número. Así, el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor de , el segundo de y el tercero de , dando como resultado el valor del número: .
Así podemos ver que
Sistemas de numeración no posicionales
El sistema de los números romanos no es estrictamente posicional. Por esto, es muy complejo diseñar algoritmos de uso general (por ejemplo, para sumar, restar, multiplicar o dividir).
Como ejemplo, en el número romano XCIX (99 decimal) los numerales X (10 decimal) del inicio y del fin de la cifra equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posición dentro de la cifra.
El sistema numérico decimal
El sistema de numeración decimal es el más usado, tiene como base el número 10, o sea que posee 10 dígitos (o simbolos) diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). El sistema de numeración decimal fué desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo. Si se aplica la notación posicional al sistema de numeración decimal entonces el dígito número n tiene el valor: (10n)* A
Este valor es positivo y es mayor o igual que uno si el dígito se localiza a la izquierda del punto decimal y depende del dígito A, en cambio el valor es menor que uno si el dígito se localiza a la derecha del punto decimal. Por ejemplo, el número 3489.125 expresado en la notación posicional es:
primero 9 * (100) = 9 --------- primero 1*(10-1) = 0.1 segundo 8 * (101) = 80 -------- segundo 2*(10-2) = 0.02 tercero 4 * (102) = 400 -------- tercero 5*(10-3) = 0.005 cuarto 3 * (103) = 3000
Por lo tanto el valor del número es:
donde:
m = posición del dígito que se localiza a la derecha k = posición del dígito que se localiza a la izquierda b = valor de la base n = posición del dígito a evaluar a = dígito a evaluar
para el ejemplo:
= 5*(10-3) + 2*(10-2) + 1*(10-1) + 9*(100) + 8*(101) + 4*(102) + 3*(103) = 0.005 + 0.02 + 0.1 + 9 + 80 + 400 + 3000 = 3489.125
Notación Posicional del Sistema
(10-6) = 0.000001 (10-5) = 0.00001 (10-4) = 0.0001 (10-3) = 0.001 (10-2) = 0.01 (10-1) = 0.1 (100) = 1 (101) = 10 (102) = 100 (103) = 1000 (104) = 10000 (105) = 100000 (106) = 10000000
En programación es frecuente acudir a diferentes sistemas de numeración según las circunstancias.
Hay que tener en cuenta que el hombre usa el sistema decimal, (según una opinión bastante general debido a una circunstancia más o menos afortunada: por la simple razón de que tiene diez dedos entre las dos manos. A menudo se usa el cinco como base de numeración auxiliar). La palabra dígito y dedo tienen la misma raiz latina, por eso usamos una numeración con 10 dígitos o dedos.
Hubiera sido mucho más práctico usar un sistema de numeración basado en un número con más factores, como el 12 (3*2*2) o mejor todavía el 8 (2*2*2) o el 16 (2*2*2*2). Pero por suerte o por desgracia:
1. Los humanos tenemos diez dedos y
2. Los humanos contamos con los dedos (al menos al principio), porque están muy a mano.
Para contar de 1 a 10 es fácil, pero ¿qué pasa cuando hay que contar más de diez cosas?. Pues usamos las manos de un "amigo" para contar cuantas veces hemos usado los dedos de las nuestras, así "12", sería dos más una vez diez.
Otra circunstancia curiosa es que en el sistema de numeración que usamos los números se leen y escriben de derecha a izquierda, al revés del modo en que escribimos las palabras.
Cuando interpretamos números de varias cifras, hay que empezar por la derecha, el primer dígito son unidades, el siguiente decenas, es decir cuantos grupos de 10 elementos estamos contando. El siguiente centenas, es decir el número de grupos de 10 elementos de grupos de 10 elementos, o sea el número de grupos de 100 elementos. Y así sucesivamente.
Si quieres saber más detalles sobre la historia de los sistemas de numeración, consulta este enlace.
Sistemas de numeración en la programación
En C y C++ se usan básicamente cuatro sistemas de numeración:
· Binario (base 2)
· Octal (base 8)
· Decimal (base 10)
· Hexadecimal (base 16)
Sistema binario, numeración en base 2
El sistema binario es el que usan los ordenadores, que es como si sólo tuvieran un dedo, su unidad básica de memoria, el bit, sólo puede tomar dos valores, inactivo o activo, y se codifican como 0 y 1, respectivamente.
Los ordenadores se quedan sin dedos enseguida, en cuanto tienen que contar más de uno, así que añaden más dígitos.
Por ejemplo, veamos el número binario 10110.
Estamos en base 2, así que el número se calcula así:
0 * 2^0 + 1 * 2^1 + 1 * 2^2 + 0 * 2^3 + 1 * 2^4 = 2 + 4 + 16 = 22 (decimal)
Este tipo de numeración resulta muy útil cuando cada bit puede significar cosas diferentes para un ordenador.
Sistema octal, numeración en base 8
El sistema octal usa ocho dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Este es el sistema de numeración que usaríamos si tuviéramos manos de cuatro dedos, como los Simpsons :-)
Por ejemplo, un número en octal sería 125. Estamos en base 8,así que el número se traduce a decimal así:
5 * 8^0 + 2 * 8^1 + 1 * 8^2 = 5 + 2 * 8 + 64 = 85 (decimal)
Desconozco el origen histórico de por qué de usa este sistema de numeración en ordenadores. Pero la explicación práctica es que la conversión entre binario y octal es casi directa.
Por ejemplo tenemos el número binario 10010010001000101101001.
Para convertirlo a octal agrupamos los dígitos de tres en tres empezando por la derecha, y rellenamos con ceros a la izquierda hasta tener sólo grupos de tres bits o dígitos:
010 010 010 001 000 101 101 001
A cada grupo de tres bits le podemos hacer corresponder un dígito octal, al 000 el 0, al 001 el 1, al 010 el 2, ... al 111 el 7.
Así que podemos traducir directamente el número anterior a octal:
22210551 (octal)
La conversión inversa, de octal a binario es igual de simple. Por ejemplo el número octal:
125
Cambiamos cada dígito octal por su equivalente binario:
001 010 101
Y después eliminamos los separadores y los ceros iniciales:
1010101 (binario)
Sistema decimal, numeración en base 10
En programación se usa el decimal porque es el que usamos los humanos, y al fin y al cabo, el ordenador está a su servicio.
Es sistema decimal usa diez dígitos para expresar los números, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Por ejemplo para el número decimal 42335:
5 * 10^0 + 3 * 10^1 + 3 * 10^2 + 2 * 10^3 + 4 * 10^4 = 5 + 30 + 300 + 2000 + 40000
Sistema hexadecimal, numeración en base 16
El sistema hexadecimal, que es el rey de los sistemas de numeración, al menos en lo que respecta a los ordenadores.
Usa 16 dígitos, los archiconocidos 0 a 9 y para los otros seis se usan las letras A, B, C, D, E y F, que tienen valores 10, 11, 12, 13, 14 y 15, respectivamente. Se usan indistintamente mayúsculas y minúsculas.
Por ejemplo, un número hexadecimal 4F3D:
13 * 16^0 + 3 * 16^1 + 15 * 16^2 + 4 * 16^3 = 13 + 3 * 16+ 15 * 256 + 4 * 4096 = 20285
Este sistema de numeración tiene muchas ventajas:
· La conversión entre binario y hexadecimal es tan simple como en octal, la única diferencia es que los bits se agrupan de cuatro en cuatro. 0000 es 0, 0001 es 1, 0010 es 2 ... 1111 es F.
· El byte, es la unidad de memoria más usada por los ordenadores y agrupa ocho bits. Para codificar un número de 8 bits sólo se necesitan dos dígitos hexadecimales. El mayor número expresable por un byte, 11111111(binario), equivale a 255(decimal) y a FF(hexadecimal).
· Y para palabras de dos bytes (16 bits), se usan sólo cuatro dígitos hexadecimales. (El número 16 aparece mucho cuando se habla de ordenadores.)
· Para 32 bits: 8 dígitos hexadecimales, y sucesivamente.
Con la práctica podrás hacer conversiones de hexadecimal a binario de memoria:
3E equivale a 00111110
AA equivale a 10101010
Generalizando
Un número en base n sólo puede estar formado por dígitos entre 0 y n-1, por ejemplo, en base 2 sólo se admiten los dígitos 0 y 1; en base 8, los dígitos 0 a 7; en base 10, los dígitos 0 a 9.
Así, por ejemplo, en base 2 el número 2 se expresa como 10, en base 8 u octal, el número 8 se expresa como 10,en base 10 o decimal el número 10 se expresa como 10 y en base 16 o hexadecimal, el número 16 se expresa como 10..
Así que en general, el valor de un número expresado en base n será:
Número en base 'n': "abcde"
Valor: e*n^0 + d*n^1 + c*n^2 + b * n^3 + a*n^4
Donde "n^x" se lee como n elevado a la x potencia.
Algoritmo para conversión de bases
Ahora veamos el algoritmo para hacer un conversor universal.
Supongamos que el número está en un array que se llama "Numero":
char Numero[] = "56652";
1. Lo primero, en un programa bien hecho, habría que comprobar que el número cumple las reglas, es decir, que no hay dígitos prohibidos en el sistema de numeración que usamos.
2. Necesitamos el número de dígitos:
int NDigitos = strlen(Numero);int Base = 8; /* Para base 8, será 16 para hexadecimal y 2 para binario */
3. Empezaremos a recorrer el número desde el final, así que el primer exponente será 0, cualquier número elevado a 0 es 1. En lugar de calcular n^DigitoNo, calcularemos el multiplicador, que se puede obtener multiplicando la base por el multiplicador anterior. Por ejemplo, para base 10 la secuencia de multiplicadores es 1, 10, 100, 1000, 10000, etc, para base 8 es 1, 8, 64, 512, etc
int Multiplicador=1;int DigitoNo = NDigitos-1; /* Los arreglos tienen índices empezando por el 0 */Valor = 0;
4. Recorremos el número desde el final: Numero[DigitoNo]
while(DigitoNo >= 0){ Valor += ValorDigito(Numero[DigitoNo])*Multiplicador; Multiplicador *= Base; DigitoNo--;}
5. El resultado será Valor.
Además, necesitamos una función que calcule el valor de un dígito en formato ASCII y lo convierta a int. Para que sirva para el sistema hexadecimal debe entender los caracteres '0' a '9', 'a' a 'f' y 'A' a 'F'.
int ValorDigito(char d){ if(d >= '0' && d <= '9') return d-'0'; if(d >= 'a' && d <= 'f') return 10+d-'a'; if(d >= 'A' && d <= 'F') return 10+d-'A'; return -1; /* Carácter prohibido */}
CONCLUSION
Integrantes: María Soledad López Moreno
Adriana Morales Ruvalcaba
Angela Georgina Torres Gomez
INTRODUCCION
Para la evaluación correspondiente al examen semestral en la materia de Matemáticas, se presenta un trabajo a manera de ensayo; en este caso se nos asigno un tema: Nuestro sistema de Numeración Decimal.
Con base al tema asignado se realizo una investigación documentada para desarrollarlo, que se presentara a continuación para una mejor comprensión del contenido. Lo cual es muy importante ya que suele ser un aspecto que nos parece tan cotidiano y simple que muchas veces no se valora su utilidad, ya que es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración.
Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal.
Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar. La información presentada puede ayudarnos como docentes, incluso es recomendable actualizarse en cada concepto para poderlo aplicarlo y dominarlo así que este ensayo nos permitirá ahondar en el tema mencionado.
NUMERACION DECIMAL
El sistema numérico que utilizamos para representar los números utiliza diez símbolos llamados cifras.
Para representar números mayores que nueve, utilizamos grupos formados por varias cifras ordenadas. La posición de cada cifra, a medida que nos trasladamos de derecha a izquierda, nos indicará las unidades, decenas, centenas, etc. Por estas razones se llama a este sistema posicional.
El sistema decimal es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras: cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes.
Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Por ejemplo, cuando se cuentan artículos por docenas, o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos números (en francés, por ejemplo, el número 80 se expresa como "cuatro veintenas").
Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar.
El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:
Los números decimales se pueden representar en rectas numéricas
Búsqueda de números primos
En base 10, un número primo sólo puede acabar en 1, 3, 7 o 9.Las 6 posibilidades restantes generan siempre números compuestos:
Los acabados en 2, 4, 6, 8 y 0 son múltiplos de 2
Los acabados en 5 y 0 son múltiplos de 5
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema. Un sistema de numeración puede representarse como N = S + R donde:
N es el sistema de numeración considerado
S son los símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1...7}; en el hexadecimal son {0,1...9,A,B,C,D,E,F}
R son las reglas de generación que nos indican qué números son válidos y cuáles son no-válidos en el sistema.
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeracíon utilizado se añade como subíndice al número).
Ejemplos:
el número 125(10 es un número válido en el sistema decimal, pero el número 12A(10 no lo es, ya que utiliza un símbolo A no válido en el sistema decimal.
el número 35(8) es un número válido en el sistema octal, pero el número 39(8 no lo es, ya que el símbolo 9 no es un símbolo válido en el sistema octal.
el número F1E4(16) es un número válido en el sistema hexadecimal, pero el número FKE4(16 no lo es, ya que el símbolo K no es un símbolo válido en el sistema hexadecimal.
//
Clasificación
De una forma general y amplia podemos clasificar los sistemas de numeración en dos grandes tipos
Posicionales
El valor de los símbolos que componen el sistema depende del valor que se les ha asignado, y de la posición que ocupan en el número.
No Posicionales
El valor de los símbolos que componen el sistema es fijo, y no depende de la posición que ocupa el símbolo dentro del número.
[Sistemas de numeración posicionales
Los sistemas de numeración usados en la actualidad son ponderados o posicionales. En estos sistemas de numeración el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.
El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.
Podemos ver esto con un ejemplo en el sistema de numeración decimal.
Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando.
De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.
Como vemos, un sistema de numeración posicional se comporta como un cuentakilómetros: va sumando 1 a la columna de la derecha y, cuando la rueda de esa columna ha dado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.
Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.
Tal es la costumbre de calcular en decimal que la inmensa mayoría de la población ni siquiera se imagina que pueden existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 Sistema binario, de base 8 Sistema octal y el de base 16 Sistema hexadecimal.
Teorema Fundamental de la Numeración
Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:
N: Sistema de numeración
b: base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.
d: un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración
n: número de dígitos de la parte entera.
,: coma decimal. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su parte decimal.
k: número de dígitos de la parte decimal.
La fórmula general para construir un número (cualquier número) N en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:
El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.
Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas.
Ejemplo en el Sistema Decimal
En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (número de símbolos válidos en el sistema) es 10.
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.
Los dígitos a la izquierda de la coma decimal representados por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (102=100), decenas (10¹=10) y unidades (100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma decimal.
Los dígitos a la derecha de la coma decimal d-1, d-2, d-3 ... d-n representan respectivamente al dígito de las décimas (10-1=0,1), centésimas (10-2=0,01), milésimas (10-3=0,001) y n-ésimas (10-n) .
Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como:
Ejemplo en el Sistema Binario
Tomemos ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema binario.
Seguimos con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba. En este caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que solo disponemos de 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.
Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que contamos (sumamos) dos hemos agotado los símbolos disponibles para esa columna, y debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda.
Así, si contamos en binario, tras el número 0(2 viene el 1(2, pero si contamos una unidad más debemos usar otra columna, resultando 10(2
Sigamos contando 0(2,1(2,10(2,11(2. Al añadir una unidad a la columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los símbolos disponibles), y debemos formar una unidad de segundo orden, pero como ya hay una, también agotaremos los símbolos disponibles para esa columna, y debemos formar una unidad de tercer orden o 100(2. Así, en el sistema binario 11(2 + 1(2 + 100(2
Ejemplos:
El número está formado por un sólo símbolo repetido tres veces. No obstante, cada uno de esos símbolos tiene un valor diferente, que depende de la posición que ocupa en el número. Así, el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor de , el segundo de y el tercero de , dando como resultado el valor del número: .
Así podemos ver que
Sistemas de numeración no posicionales
El sistema de los números romanos no es estrictamente posicional. Por esto, es muy complejo diseñar algoritmos de uso general (por ejemplo, para sumar, restar, multiplicar o dividir).
Como ejemplo, en el número romano XCIX (99 decimal) los numerales X (10 decimal) del inicio y del fin de la cifra equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posición dentro de la cifra.
El sistema numérico decimal
El sistema de numeración decimal es el más usado, tiene como base el número 10, o sea que posee 10 dígitos (o simbolos) diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). El sistema de numeración decimal fué desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo. Si se aplica la notación posicional al sistema de numeración decimal entonces el dígito número n tiene el valor: (10n)* A
Este valor es positivo y es mayor o igual que uno si el dígito se localiza a la izquierda del punto decimal y depende del dígito A, en cambio el valor es menor que uno si el dígito se localiza a la derecha del punto decimal. Por ejemplo, el número 3489.125 expresado en la notación posicional es:
primero 9 * (100) = 9 --------- primero 1*(10-1) = 0.1 segundo 8 * (101) = 80 -------- segundo 2*(10-2) = 0.02 tercero 4 * (102) = 400 -------- tercero 5*(10-3) = 0.005 cuarto 3 * (103) = 3000
Por lo tanto el valor del número es:
donde:
m = posición del dígito que se localiza a la derecha k = posición del dígito que se localiza a la izquierda b = valor de la base n = posición del dígito a evaluar a = dígito a evaluar
para el ejemplo:
= 5*(10-3) + 2*(10-2) + 1*(10-1) + 9*(100) + 8*(101) + 4*(102) + 3*(103) = 0.005 + 0.02 + 0.1 + 9 + 80 + 400 + 3000 = 3489.125
Notación Posicional del Sistema
(10-6) = 0.000001 (10-5) = 0.00001 (10-4) = 0.0001 (10-3) = 0.001 (10-2) = 0.01 (10-1) = 0.1 (100) = 1 (101) = 10 (102) = 100 (103) = 1000 (104) = 10000 (105) = 100000 (106) = 10000000
En programación es frecuente acudir a diferentes sistemas de numeración según las circunstancias.
Hay que tener en cuenta que el hombre usa el sistema decimal, (según una opinión bastante general debido a una circunstancia más o menos afortunada: por la simple razón de que tiene diez dedos entre las dos manos. A menudo se usa el cinco como base de numeración auxiliar). La palabra dígito y dedo tienen la misma raiz latina, por eso usamos una numeración con 10 dígitos o dedos.
Hubiera sido mucho más práctico usar un sistema de numeración basado en un número con más factores, como el 12 (3*2*2) o mejor todavía el 8 (2*2*2) o el 16 (2*2*2*2). Pero por suerte o por desgracia:
1. Los humanos tenemos diez dedos y
2. Los humanos contamos con los dedos (al menos al principio), porque están muy a mano.
Para contar de 1 a 10 es fácil, pero ¿qué pasa cuando hay que contar más de diez cosas?. Pues usamos las manos de un "amigo" para contar cuantas veces hemos usado los dedos de las nuestras, así "12", sería dos más una vez diez.
Otra circunstancia curiosa es que en el sistema de numeración que usamos los números se leen y escriben de derecha a izquierda, al revés del modo en que escribimos las palabras.
Cuando interpretamos números de varias cifras, hay que empezar por la derecha, el primer dígito son unidades, el siguiente decenas, es decir cuantos grupos de 10 elementos estamos contando. El siguiente centenas, es decir el número de grupos de 10 elementos de grupos de 10 elementos, o sea el número de grupos de 100 elementos. Y así sucesivamente.
Si quieres saber más detalles sobre la historia de los sistemas de numeración, consulta este enlace.
Sistemas de numeración en la programación
En C y C++ se usan básicamente cuatro sistemas de numeración:
· Binario (base 2)
· Octal (base 8)
· Decimal (base 10)
· Hexadecimal (base 16)
Sistema binario, numeración en base 2
El sistema binario es el que usan los ordenadores, que es como si sólo tuvieran un dedo, su unidad básica de memoria, el bit, sólo puede tomar dos valores, inactivo o activo, y se codifican como 0 y 1, respectivamente.
Los ordenadores se quedan sin dedos enseguida, en cuanto tienen que contar más de uno, así que añaden más dígitos.
Por ejemplo, veamos el número binario 10110.
Estamos en base 2, así que el número se calcula así:
0 * 2^0 + 1 * 2^1 + 1 * 2^2 + 0 * 2^3 + 1 * 2^4 = 2 + 4 + 16 = 22 (decimal)
Este tipo de numeración resulta muy útil cuando cada bit puede significar cosas diferentes para un ordenador.
Sistema octal, numeración en base 8
El sistema octal usa ocho dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Este es el sistema de numeración que usaríamos si tuviéramos manos de cuatro dedos, como los Simpsons :-)
Por ejemplo, un número en octal sería 125. Estamos en base 8,así que el número se traduce a decimal así:
5 * 8^0 + 2 * 8^1 + 1 * 8^2 = 5 + 2 * 8 + 64 = 85 (decimal)
Desconozco el origen histórico de por qué de usa este sistema de numeración en ordenadores. Pero la explicación práctica es que la conversión entre binario y octal es casi directa.
Por ejemplo tenemos el número binario 10010010001000101101001.
Para convertirlo a octal agrupamos los dígitos de tres en tres empezando por la derecha, y rellenamos con ceros a la izquierda hasta tener sólo grupos de tres bits o dígitos:
010 010 010 001 000 101 101 001
A cada grupo de tres bits le podemos hacer corresponder un dígito octal, al 000 el 0, al 001 el 1, al 010 el 2, ... al 111 el 7.
Así que podemos traducir directamente el número anterior a octal:
22210551 (octal)
La conversión inversa, de octal a binario es igual de simple. Por ejemplo el número octal:
125
Cambiamos cada dígito octal por su equivalente binario:
001 010 101
Y después eliminamos los separadores y los ceros iniciales:
1010101 (binario)
Sistema decimal, numeración en base 10
En programación se usa el decimal porque es el que usamos los humanos, y al fin y al cabo, el ordenador está a su servicio.
Es sistema decimal usa diez dígitos para expresar los números, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Por ejemplo para el número decimal 42335:
5 * 10^0 + 3 * 10^1 + 3 * 10^2 + 2 * 10^3 + 4 * 10^4 = 5 + 30 + 300 + 2000 + 40000
Sistema hexadecimal, numeración en base 16
El sistema hexadecimal, que es el rey de los sistemas de numeración, al menos en lo que respecta a los ordenadores.
Usa 16 dígitos, los archiconocidos 0 a 9 y para los otros seis se usan las letras A, B, C, D, E y F, que tienen valores 10, 11, 12, 13, 14 y 15, respectivamente. Se usan indistintamente mayúsculas y minúsculas.
Por ejemplo, un número hexadecimal 4F3D:
13 * 16^0 + 3 * 16^1 + 15 * 16^2 + 4 * 16^3 = 13 + 3 * 16+ 15 * 256 + 4 * 4096 = 20285
Este sistema de numeración tiene muchas ventajas:
· La conversión entre binario y hexadecimal es tan simple como en octal, la única diferencia es que los bits se agrupan de cuatro en cuatro. 0000 es 0, 0001 es 1, 0010 es 2 ... 1111 es F.
· El byte, es la unidad de memoria más usada por los ordenadores y agrupa ocho bits. Para codificar un número de 8 bits sólo se necesitan dos dígitos hexadecimales. El mayor número expresable por un byte, 11111111(binario), equivale a 255(decimal) y a FF(hexadecimal).
· Y para palabras de dos bytes (16 bits), se usan sólo cuatro dígitos hexadecimales. (El número 16 aparece mucho cuando se habla de ordenadores.)
· Para 32 bits: 8 dígitos hexadecimales, y sucesivamente.
Con la práctica podrás hacer conversiones de hexadecimal a binario de memoria:
3E equivale a 00111110
AA equivale a 10101010
Generalizando
Un número en base n sólo puede estar formado por dígitos entre 0 y n-1, por ejemplo, en base 2 sólo se admiten los dígitos 0 y 1; en base 8, los dígitos 0 a 7; en base 10, los dígitos 0 a 9.
Así, por ejemplo, en base 2 el número 2 se expresa como 10, en base 8 u octal, el número 8 se expresa como 10,en base 10 o decimal el número 10 se expresa como 10 y en base 16 o hexadecimal, el número 16 se expresa como 10..
Así que en general, el valor de un número expresado en base n será:
Número en base 'n': "abcde"
Valor: e*n^0 + d*n^1 + c*n^2 + b * n^3 + a*n^4
Donde "n^x" se lee como n elevado a la x potencia.
Algoritmo para conversión de bases
Ahora veamos el algoritmo para hacer un conversor universal.
Supongamos que el número está en un array que se llama "Numero":
char Numero[] = "56652";
1. Lo primero, en un programa bien hecho, habría que comprobar que el número cumple las reglas, es decir, que no hay dígitos prohibidos en el sistema de numeración que usamos.
2. Necesitamos el número de dígitos:
int NDigitos = strlen(Numero);int Base = 8; /* Para base 8, será 16 para hexadecimal y 2 para binario */
3. Empezaremos a recorrer el número desde el final, así que el primer exponente será 0, cualquier número elevado a 0 es 1. En lugar de calcular n^DigitoNo, calcularemos el multiplicador, que se puede obtener multiplicando la base por el multiplicador anterior. Por ejemplo, para base 10 la secuencia de multiplicadores es 1, 10, 100, 1000, 10000, etc, para base 8 es 1, 8, 64, 512, etc
int Multiplicador=1;int DigitoNo = NDigitos-1; /* Los arreglos tienen índices empezando por el 0 */Valor = 0;
4. Recorremos el número desde el final: Numero[DigitoNo]
while(DigitoNo >= 0){ Valor += ValorDigito(Numero[DigitoNo])*Multiplicador; Multiplicador *= Base; DigitoNo--;}
5. El resultado será Valor.
Además, necesitamos una función que calcule el valor de un dígito en formato ASCII y lo convierta a int. Para que sirva para el sistema hexadecimal debe entender los caracteres '0' a '9', 'a' a 'f' y 'A' a 'F'.
int ValorDigito(char d){ if(d >= '0' && d <= '9') return d-'0'; if(d >= 'a' && d <= 'f') return 10+d-'a'; if(d >= 'A' && d <= 'F') return 10+d-'A'; return -1; /* Carácter prohibido */}
CONCLUSION
Con esta investigación se pretende que se conozca la importancia del sistema decimal,un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras: cero , uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis , siete (7), ocho y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes.
Existen muchas maneras por las cuales los maestros podemos actualizarnos y llegar a dominar el tema , asi cuando los alumnos se encuentren en medio de un problema y realizen una pregunta , sera mucho mas facil contestarles sin tenerles que inventar una posible solución.
Este trabajo nos brinda la oportunidad de recabar en una serie de conceptos que muchas veces ignoramos , sin mencionar la importancia de nuestro sistema de numeración decimal para nuesta vida cotidiana.
Información obtenida en :
Información obtenida en :
Plan y programas
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_decimal"
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_decimal"
La enseñanza de la suma y la enseñanza de la division.
| CENTRO DE ESTUDIOS SUPERIORES LA SALLE LICENCITURA EN EDUCACION PRIMARIA MATERIA: DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS TEMAS: LA ENSEÑANZA DE LA SUMA Y LA ENSEÑANZA DE LA DIVISION PROFESORA: ADRIANA GUTIERREZ PAEZ CLASE: Martes. PARTICIPANTES: Servando Ramón Alonso Garza, Elmer Cortes Guerrero, Eduardo i. Cortes Mireles, Jose Heleodoro Leal de Leon, Jose Roberto Ortega Moreno MONTERREY, N. L. A 30 de NOVIEMBRE de 2006. Introducción El siguiente trabajo corresponde al campo de las matemáticas, un campo en realidad le es muy complejo de abarcar a un numero de alumnos y muy aburrido para el profesor, mas sin embargo, tiene que cumplir con el programa de la educación primaria. En esta ocasión, se hablara de dos temas muy relevantes en la enseñanza de las matemáticas: la enseñanza de la suma y la enseñanza de la división. Estos dos apartados no son importantes por que, por un lado al niño le permitirán con la guia y la enseñanza del maestro de ambas operaciones, resolver situaciones concretas y reales de su vida, por otro lado, evolucionara en cuanto al conocimiento desarrollo y formación de otras cantidades y agrupaciones, que tendrán que ver con los problemas que resuelvan y su grado de resolución. ¿ Por qué la suma y por qué la división? A un que asi lo parezca la suma y la división son problemas de carácter aditivo y ambas buscan un resultado definitivo. El propósito de ambos temas es demostrar que la suma y la división son en su enseñanza procesos que se interrelacionan que tienen su grado de dificultad con relación al avance de los grados y ambos son útiles en resolución de los problemas la vida cotidiana, además de ver las diferentes formas de resolver la suma y la división. Se tratara de aclarar en el desarrollo del trabajo las definiciones, los tipos de operaciones que existen en relación a lo que se ve de 1º a 6º grado, la estructuras de ambas y como enseñar estos problemas, en base a pasos concretos y sencillos. Por último, se hará una conclusión sobre el aprendizaje adquirido con relación a la enseñanza de la suma y división. Desarrollo La enseñanza de la suma y la enseñanza de la división La enseñanza de la suma A) Definición La suma es una operación matemática definida sobre conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y también sobre estructuras asociadas a ellos. Para la adición se utiliza de forma moderna con el nombre “suma “y sus símbolo + ( mas) para representar la unión o conjunción entre los elementos o cifras, también llamados sumandos y cuales buscan un resultado. Sumandos 2037 Resultado + 3119 6156 Las propiedades de la suma son: Comunicativa: si se altera el orden de loS sumandos, no cambia el resultado, de esta forma, 2 + 3 = 3+2 Asociativa: a + (b+c) = (a+b) + c Así con estas propiedades podemos iniciar la enseñanza de la suma. B) Tipos de operaciones de suma Los tipos de operaciones de la suma van en orden progresivo: En primer grado, los niños ven la suma con objetos y en un principio, forman colecciones solo en el ramo de las unidades y después forman decenas. En segundo grado, ven problemas con objetos y el algoritmo con unidades, decenas y un poco las centenas. En tercer grado se ve el algoritmo, con unidades, decenas y centenas hasta ver el millar. En cuarto grado, se ven los algoritmos, sumas a partir de arreglos rectangulares y operaciones razonadas, se va ya la unidad de millar. En quinto y sexto, se ven problemas más complejos involucran unidades de medida, se ven en quinto, la decena de millar y en sexto la centena de millar y sumas de números de todo tipo de cifras de tipos de forma horizontal y vertical. Oros tipos de problema puede ser: a) De cambio; que son los cuales se puede ver un cambio en los elementos de la suma, como la modificación del resultado o formar otra agrupación. Ej. 975 +121 1096 Formación de una unidad de millar b) De combinación, en estos problemas se unen cantidades, es decir, se combina para formar otra. Pedro tiene 2 canicas y Diego 7 ¿Cuántas Canicas tienen entre los dos? Ej. Pedro O O + O O O O O O O = O O O O O O O O O C) Estructuras de la suma. 40052 +19329 Sumandos 59381 Resultado Los números de arriba son los sumando, los conjuntos que se van a unir para formar una cantidad. El número de abajo, es el producto final, resultado de la unión de los sumandos. D) Cómo se enseña la suma Entendiendo el maestro los elementos de la suma, está se debe enseñar a partir de los objetos reales con los que tiene contacto el alumno, por ejemplo lápices, canicas, balones, muñecas, etc. Primero debe partir de las unidades que verá en primer grado, pasando por las decenas en 2º, así hasta la centena de millar y el millón en 6º grado. Para su mejor trabajo, comprensión y entendimiento de los alumnos en primero, segundo y tercero, se debe utilizar material concreto, manipulable y vistoso para que el aprendizaje de la suma sea significativo. La enseñanza de la división. A) Definición. La división es una operación aritmética inversa a la multiplicación y a veces puede interpretarse como una resta repetida. Diciéndolo con otras palabras, consiste en averiguar cuántas veces un numero (el divisor) esta contenido en otro numero. En la división de numeros enteros, no solo intervienen el dividendo y el divisor, tambien el cociente que es el resultado entero o entero y con decimales de la división y si la división no es exacta, es decir, que el resultado no esta contenido en un numero exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto. B) Estructura de la división. DIVIDENDO / DIVISOR = COCIENTE + RESIDUO O RESTO. En la estructura anterior se involucran en principio el dividendo y el divisor, en donde, el dividendo es el numero, a dividir o repartir o entre los que se van encontrar partes iguales o casi iguales del dividendo. Los alumnos, asi pues, buscaran el cociente, que es la cantidad de veces que cabe una cifra en otra y si el resultado no es exacto habrá un residuo, que al momento de comprobar la operación, la cantidad sera la misma, es decir, la cifra original que se dividió. C) Tipos de división. Los problemas de división pueden ser tasativos o de reparto. Los problemas mas comunes son los de reparto en donde se buscan resultados exactos para que asi se de la exacta respuesta de los que componen el problema de reparto. Ejemplo: En la casa del tío Luis hay 24 cajas de caramelos y en navidad se repartieron estas cajas entre 8 niños: 5 niños y 3 niñas, ¿Cuántas cajas le tocaron a cada uno? 24 / 8= 3 Como se ve, este problema es de reparto, porque solo utilizan dos medidas y su resultado no es exacto, además de que se realiza una transformación en el problema. Los otros, son los taxativos, en donde se involucra una magnitud y esa misma es el resultado. Ejemplo: ¿Cuántas veces caben 4 dulces en 20 dulces?. D) Cómo se enseña la suma. Para los maestros, la división se debe enseñar siempre y cuando los alumnos conozcan y tengan entendidas las tablas de multiplica y después por parte situando de inicio la suma y la resta, y, si no se hace de esa manera el profesor se complicará a sí mismo y a los alumnos para la enseñanza de esa operación fundamental. Conclusión Como conclusión de este trabajo nos queda decir que, la suma y la división, en su enseñanza deben de ser más dinámicas, donde se pongan en relación la imaginación de los niños y la realidad en que vive, asi tambien le permitirá al niño fortalecer su campo de conocimientos, habilidades y actitudes para resolver cuestiones futuras. A nosotros los maestros nos servirá para llevar a cabo de forma amena la suma y la división, no llegando al grado de las mecanizaciones maestros y alumnos se fastidian y otros creen que tal estrategia es buena para reforzar los conocimientos y las habilidades. |
COMENTARIO DE EVA ABREGO Y CECILIA ACOSTA ACOSTA
COMENTARIOS DE LAS ALUMNAS EVA ABREGO GRANADOS
Y CECILIA ACOSTA ACOSTA PARA EL TRABAJO DE
“LA ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS DE MULTIPLICACION Y DIVISION”(JHONY,MARY,ERNESTO)
Abarcan muy bien el concepto de multiplicación pero deberían tener en claro que antes de pasar al tema de la división, se debe dominar la multiplicación y las operaciones anteriores. y hacer enfasisi en sus conocimientos de cálculo en el soroban para realizar operaciones comunes de la vida real, como ya lo mencionan en su trabajo .
esperando que nuestro comentario sea constructivo ....
Y CECILIA ACOSTA ACOSTA PARA EL TRABAJO DE
“LA ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS DE MULTIPLICACION Y DIVISION”(JHONY,MARY,ERNESTO)
Abarcan muy bien el concepto de multiplicación pero deberían tener en claro que antes de pasar al tema de la división, se debe dominar la multiplicación y las operaciones anteriores. y hacer enfasisi en sus conocimientos de cálculo en el soroban para realizar operaciones comunes de la vida real, como ya lo mencionan en su trabajo .
esperando que nuestro comentario sea constructivo ....
“Estructuras de los problemas de multiplicación y división”.
Alumnas: Rocío Marlen Carmona Rodríguez 7”A”
Claudia Elizabeth Coronado Salinas 7”B”
Sandra Janett Villa Villasana 7”B”
Día de clase: martes.
“Estructuras de los problemas de multiplicación y división”.
Introducción.
Este trabajo se enfoca a las “Estructuras de los problemas de multiplicación y división”, en donde se explican, su definición y propiedades correspondientes a cada operación. Con el objetivo de dar a conocer las estructuras que implican estas operaciones para poder comprender el tema y así elaborar problemas adecuados a las necesidades de los alumnos para que pueda obtener un aprendizaje significativo, por lo tanto incluimos algunos ejemplos de la estructura de cada operación.
De acuerdo al enfoque de las matemáticas del plan y programas de estudio de 1993, “en la construcción de conocimientos matemáticos, los niños parten de experiencias concretas, el diálogo, la interacción y la confrontación de puntos de vista ayudan el aprendizaje de la construcción de conocimientos”, (p.51).
Desarrollo
Multiplicación
Dados dos números naturales, a y b denominados factores, llamaremos multiplicación o producto de a por b y lo denotaremos como a x b al número a. Según lo expuesto anteriormente, cabe resaltar que el producto de números naturales es una operación interna, ya que siempre da como resultado otro número natural.
Las propiedades que presenta el producto de números naturales son:
Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto: a x b = b x a. Si queremos multiplicar 5 x 7, es indiferente hacerlo de la manera indicada o invirtiendo los factores, 7 x 5; en ambos casos el resultado es 35.
Asociativa: dado un producto de varios factores a x b x c, el resultado no depende de cómo los agrupemos para hacer la operación. Si queremos calcular el producto de 3 x 7 x 5, lo podemos hacer directamente; en todos los casos el resultado es el mismo, 105.
Existencia de elemento neutro: en el conjunto de los números naturales existe un elemento que es el 1 que actúa como elemento neutro para el producto, ya que cualquier número neutral multiplicado por 1 queda invariado. Al multiplicar 23 x 1 el resultado no varía, 23.
Distributiva del producto de números neutrales por sumas o restas de números naturales: al multiplicar un número natural por una suma o resta de números naturales es indiferente hacer primero la suma o resta de números.
En cuanto a las estructuras de estas operaciones se presentan la de relación proporcional que se refiera a que las cifras que se manejan en el resultado de tal operación tienen un orden de seriación; es decir, que sus resultados serán progresivos ya que existe una relación entre las dos cifras que componen su resultado.
Por ejemplo en el siguiente problema: si una pelota cuesta $5, ¿Cuál es el precio de 7 pelotas?.Este tipo de problemas se les plantea a los alumnos de tercer grado, porque su estructura de seriación ayuda a que los alumnos se introduzcan al algoritmo de la multiplicación, dejando atrás la posible suma para la resolución de estos problemas, como sería la suma de siete veces cinco, al sustituirlo con el algoritmo de siete por cinco y así, poco a poco agilizar los procedimientos.
La otra estructura que se puede encontrar en la operación para obtener un producto es multiplicar dos magnitudes para encontrar una tercera. Esta consiste en encontrar la forma de realizar combinaciones entre los indicadores que presenta el problema.
Por ejemplo: ¿Cuántos barcos diferentes se podrán hacer con 7 cascos, 3 velas y 3 banderas?; En los problemas que cuentan con este tipo de estructura se pretende que los alumnos realicen combinaciones a modo de encontrar una diversidad de resultados, ya que cuentan con la característica de no tener un resultado absoluto.
División
La división es la operación mediante la que se reparte un número dado, llamado dividendo, en tantas partes como nos indica otro, llamado divisor. El resultado de la división será el cociente y, en su caso, si la división no es exacta, nos sobrará una cierta cantidad, que llamaremos resto. Si el dividendo es múltiplo del divisor, obtendremos como resto 0.
Para dividir un número natural de varias cifras por uno de una sola cifra se toma de la izquierda del dividendo una cifra, y si ésta es menor que el divisor, dos cifras, y se procede a la división, buscando un número que multiplicado al divisor nos dé igual o menor que la cifra o cifras del dividendo; cuando el número encontrado cumpla con lo anterior, lo colocaremos en el cociente.
Al resto obtenido se le añade a su derecha la siguiente de las cifras de dividendo. Si las cifras obtenidas son iguales o mayores que el divisor se procede de nuevo a efectuar la división: si no lo son, se añade un cero al cociente y se escoge otra cifra más del divisor, procediendo a la división, y así sucesivamente hasta agotar las cifras del dividendo.
Para comprobar que hemos realizado correctamente una división entre números naturales existe lo que se conoce como prueba de la división. La suma del resto obtenido al producto del cociente por el divisor nos ha de dar como resultado el dividendo.
Las estructuras que podemos encontrar en las operaciones de división son dos; la primera se refiere al reparto en donde se relacionan magnitudes de distinto tipo y se trata de repartir una cantidad en la otra.
La segunda estructura representa a los agrupamientos o también se le puede llamar tasativo, el cual consiste en relacionar dos medidas del mismo tipo y se trata de ver cuántas veces cabe una en la otra.
El ejemplo correspondiente a la estructura de reparto es el siguiente: Es el cumpleaños de Ana, sí su mamá quiere repartir 88 dulces entre sus 7 amigos ¿Cuánto le toca a cada uno?, esta situación se les puede plantear a los alumnos a partir de cuarto grado, en donde ellos tendrán que trabajar el algoritmo donde divida las cantidades que se manejen o bien hacer un reparto cíclico en donde el resultado represente una cantidad equitativa de acuerdo a los datos que se planteen en el problema.
En la estructura de agrupamiento o tasativo se pretende que los alumnos identifiquen, cuantas veces cabe una cantidad en otra utilizando como primer recurso el algoritmo de división para encontrar su resultado, por ejemplo: en una escuela se ordena a los 240 alumnos que formen filas de 10 niños cada una, ¿Cuántas filas resultan?, la importancia de utilizar el algoritmo en estos problemas es porque se emplean cantidades más elevadas, por lo que no se recomienda utilizar un reparto cíclico ya que puede resultar tedioso y complicado.
Conclusión
En la recopilación de diversas fuentes de información para este trabajo recordamos algunos de los elementos que incluyen las operaciones básicas de multiplicación y división, siendo estas fundamentales en la vida cotidiana del alumno; asimismo como docentes es muy importante conocer las estructuras que le faciliten al niño la resolución de problemas de multiplicación y división, ya que con esto, se sintetizan procedimientos de operaciones con mayor complejidad que se le van presentando según el grado escolar que va cursando, ya que “contar con las habilidades, conocimientos y formas de expresión que la escuela proporciona, permite la comunicación y comprensión de la información matemática” (SEP, Plan y programas 1993, p. 51).
Bibliografía
LEXUS, Curso práctico de matemáticas, Barcelona, España, 1999, páginas 11 a la 18.
BLOCK, David. et al.,la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, taller para maestros, 1997, México.
SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA, Plan y programas de estudio 1993, México.
Claudia Elizabeth Coronado Salinas 7”B”
Sandra Janett Villa Villasana 7”B”
Día de clase: martes.
“Estructuras de los problemas de multiplicación y división”.
Introducción.
Este trabajo se enfoca a las “Estructuras de los problemas de multiplicación y división”, en donde se explican, su definición y propiedades correspondientes a cada operación. Con el objetivo de dar a conocer las estructuras que implican estas operaciones para poder comprender el tema y así elaborar problemas adecuados a las necesidades de los alumnos para que pueda obtener un aprendizaje significativo, por lo tanto incluimos algunos ejemplos de la estructura de cada operación.
De acuerdo al enfoque de las matemáticas del plan y programas de estudio de 1993, “en la construcción de conocimientos matemáticos, los niños parten de experiencias concretas, el diálogo, la interacción y la confrontación de puntos de vista ayudan el aprendizaje de la construcción de conocimientos”, (p.51).
Desarrollo
Multiplicación
Dados dos números naturales, a y b denominados factores, llamaremos multiplicación o producto de a por b y lo denotaremos como a x b al número a. Según lo expuesto anteriormente, cabe resaltar que el producto de números naturales es una operación interna, ya que siempre da como resultado otro número natural.
Las propiedades que presenta el producto de números naturales son:
Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto: a x b = b x a. Si queremos multiplicar 5 x 7, es indiferente hacerlo de la manera indicada o invirtiendo los factores, 7 x 5; en ambos casos el resultado es 35.
Asociativa: dado un producto de varios factores a x b x c, el resultado no depende de cómo los agrupemos para hacer la operación. Si queremos calcular el producto de 3 x 7 x 5, lo podemos hacer directamente; en todos los casos el resultado es el mismo, 105.
Existencia de elemento neutro: en el conjunto de los números naturales existe un elemento que es el 1 que actúa como elemento neutro para el producto, ya que cualquier número neutral multiplicado por 1 queda invariado. Al multiplicar 23 x 1 el resultado no varía, 23.
Distributiva del producto de números neutrales por sumas o restas de números naturales: al multiplicar un número natural por una suma o resta de números naturales es indiferente hacer primero la suma o resta de números.
En cuanto a las estructuras de estas operaciones se presentan la de relación proporcional que se refiera a que las cifras que se manejan en el resultado de tal operación tienen un orden de seriación; es decir, que sus resultados serán progresivos ya que existe una relación entre las dos cifras que componen su resultado.
Por ejemplo en el siguiente problema: si una pelota cuesta $5, ¿Cuál es el precio de 7 pelotas?.Este tipo de problemas se les plantea a los alumnos de tercer grado, porque su estructura de seriación ayuda a que los alumnos se introduzcan al algoritmo de la multiplicación, dejando atrás la posible suma para la resolución de estos problemas, como sería la suma de siete veces cinco, al sustituirlo con el algoritmo de siete por cinco y así, poco a poco agilizar los procedimientos.
La otra estructura que se puede encontrar en la operación para obtener un producto es multiplicar dos magnitudes para encontrar una tercera. Esta consiste en encontrar la forma de realizar combinaciones entre los indicadores que presenta el problema.
Por ejemplo: ¿Cuántos barcos diferentes se podrán hacer con 7 cascos, 3 velas y 3 banderas?; En los problemas que cuentan con este tipo de estructura se pretende que los alumnos realicen combinaciones a modo de encontrar una diversidad de resultados, ya que cuentan con la característica de no tener un resultado absoluto.
División
La división es la operación mediante la que se reparte un número dado, llamado dividendo, en tantas partes como nos indica otro, llamado divisor. El resultado de la división será el cociente y, en su caso, si la división no es exacta, nos sobrará una cierta cantidad, que llamaremos resto. Si el dividendo es múltiplo del divisor, obtendremos como resto 0.
Para dividir un número natural de varias cifras por uno de una sola cifra se toma de la izquierda del dividendo una cifra, y si ésta es menor que el divisor, dos cifras, y se procede a la división, buscando un número que multiplicado al divisor nos dé igual o menor que la cifra o cifras del dividendo; cuando el número encontrado cumpla con lo anterior, lo colocaremos en el cociente.
Al resto obtenido se le añade a su derecha la siguiente de las cifras de dividendo. Si las cifras obtenidas son iguales o mayores que el divisor se procede de nuevo a efectuar la división: si no lo son, se añade un cero al cociente y se escoge otra cifra más del divisor, procediendo a la división, y así sucesivamente hasta agotar las cifras del dividendo.
Para comprobar que hemos realizado correctamente una división entre números naturales existe lo que se conoce como prueba de la división. La suma del resto obtenido al producto del cociente por el divisor nos ha de dar como resultado el dividendo.
Las estructuras que podemos encontrar en las operaciones de división son dos; la primera se refiere al reparto en donde se relacionan magnitudes de distinto tipo y se trata de repartir una cantidad en la otra.
La segunda estructura representa a los agrupamientos o también se le puede llamar tasativo, el cual consiste en relacionar dos medidas del mismo tipo y se trata de ver cuántas veces cabe una en la otra.
El ejemplo correspondiente a la estructura de reparto es el siguiente: Es el cumpleaños de Ana, sí su mamá quiere repartir 88 dulces entre sus 7 amigos ¿Cuánto le toca a cada uno?, esta situación se les puede plantear a los alumnos a partir de cuarto grado, en donde ellos tendrán que trabajar el algoritmo donde divida las cantidades que se manejen o bien hacer un reparto cíclico en donde el resultado represente una cantidad equitativa de acuerdo a los datos que se planteen en el problema.
En la estructura de agrupamiento o tasativo se pretende que los alumnos identifiquen, cuantas veces cabe una cantidad en otra utilizando como primer recurso el algoritmo de división para encontrar su resultado, por ejemplo: en una escuela se ordena a los 240 alumnos que formen filas de 10 niños cada una, ¿Cuántas filas resultan?, la importancia de utilizar el algoritmo en estos problemas es porque se emplean cantidades más elevadas, por lo que no se recomienda utilizar un reparto cíclico ya que puede resultar tedioso y complicado.
Conclusión
En la recopilación de diversas fuentes de información para este trabajo recordamos algunos de los elementos que incluyen las operaciones básicas de multiplicación y división, siendo estas fundamentales en la vida cotidiana del alumno; asimismo como docentes es muy importante conocer las estructuras que le faciliten al niño la resolución de problemas de multiplicación y división, ya que con esto, se sintetizan procedimientos de operaciones con mayor complejidad que se le van presentando según el grado escolar que va cursando, ya que “contar con las habilidades, conocimientos y formas de expresión que la escuela proporciona, permite la comunicación y comprensión de la información matemática” (SEP, Plan y programas 1993, p. 51).
Bibliografía
LEXUS, Curso práctico de matemáticas, Barcelona, España, 1999, páginas 11 a la 18.
BLOCK, David. et al.,la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, taller para maestros, 1997, México.
SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA, Plan y programas de estudio 1993, México.
COMENTARIOS:
Hola muchachas,su traajo esta muy bien hecho y muy cimpleto, y estamos deacuerdo con ustedes, el conocer la estructura de este tipo de problemas, ya que así el alumnos podra resolver los problemas con mayor facilidad, y sabrá comprender cada situación que se e presente.
ATTE:
Rosa Laura M. Cardona Sánchez
Karla Janette Sánchez Almanza
Daniel Alberto Silva Hurtado
Considero que el tema que les toco desarrollar es de vital importancia conocerlo los maestros en formación, como lo somos nosotros, ya que en la actualidad son operaciones con las que los niños batallan... además no tenemos la didáctica necesaria para abordarla...
su publicación me parece interesante y creo que cumple con las condiciones para consultar en un futuro.
Atte. Su compañera Cindy
su publicación me parece interesante y creo que cumple con las condiciones para consultar en un futuro.
Atte. Su compañera Cindy
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